Andrej Mojžiš sa narodil 16. októbra 1925 v Kremnici a žil v nej do svojich trinástich rokov. Potom sa s rodičmi presťahoval do Bartošovej Lehôtky, čo je malá obec medzi Kremnicou a Žiarom nad Hronom.
Jeho kolega z ochotníckeho súboru sa chcel uchádzať o miesto vo zvolenskom divadle, a tak Andreja požiadal o sparingpartnerstvo pri dialógu. Čo Andrej nečakal bolo, že ich prijali oboch, no on ponuku neprijal, nakoľko už bol v danej dome zamestnaný na výbore v Kremnici. Avšak táto práca ho po istom čase prestala baviť, a tak trvajúcu ponuku z divadla prijal a 1. augusta 1953 sa stal hercom Divadla Jozefa Gregora Tajovského vo Zvolene, ktorého členom bol počas celej svojej hereckej kariéry aj napriek ponukám z mnohých ďalších divadiel.
Andrej bol všestranný herec, ktorý stvárnil v divadle mnoho typologicky rozličných postáv, vďaka ktorým sa jeho herectvo zdokonalilo. Týmito postavami boli napríklad Mercutio, Neznámy, gróf Vronskij, Teterev, Mat Burke, Vojnický, Leonardo, Tartuffe, Edgar, Tesnošil, Jupiter, kráľ Matej, Kreón, gróf Richard, Turcarett, Pantalone, profesor Higgins, Mikuláš Koperník, Prospero, fráter Timoteo, Mihálik i richtár Jahoda, don Juan, Willy Loman, šašo Feste, Jánošíkov otec či Eugen Filadelfi.
Svoje miesto si zastal aj na filmovom plátne, kde tiež dokázal svoju všestrannosť. Dôkazom toho sú postavy Hajtman Sekera (Adam Šangala, 1972), Partizánsky veliteľ (Trofej neznámeho strelca, 1974), Bielov kapitán (Vivat Beňovský, 1975), Hrnčiar (Sebechlebskí hudci, 1975), Doktor (Desať percent nádeje, 1976), Major SS (Ako sa Vinco zaťal, 1977), Serdoux (Louis Pasteur, 1977), Augustín Leština (Jedenáste prikázanie, 1977), Horár (Smrť chodí po horách, 1979), Otec (Výlet do mladosti, 1983), Vezír (Sila lásky, 1990), Metod (Sokoliar Tomáš, 2000) či postava Katolíckeho kňaza (Nedodržaný sľub, 2009).