Činčera pochází z Brna, již jako středoškolský student byl aktivní a v roce 1939 byl vězněn za vydávání nelegálního časopisu. Po válce nastoupil na filozofickou fakultu Univerzity Karlovy, kde vystudoval divadelní vědu a estetiku; studium dokončil v roce 1952, ale již předtím pracoval jako scénograf Beskydského divadla v Hranicích na Moravě, od r. 1948 působil v Městských divadlech pražských, v roce 1952 pak nastoupil do Štúdia vedeckých a náučných filmov v Bratislavě, kde v roce 1956 realizoval svůj první dokumentární film Prečo kvitnú. Nejplodnější období své kariéry spojil s Krátkým filmem Praha, kde pracoval od roku 1956.
Po roce 1968 byly Činčerovi omezeny tvůrčí možnosti, v této době se pak soustředil na speciální formy audiovizuálních programů pro různé výstavy a další jubilejní příležitosti. Takto pro světovou výstavu v USA stvořil novou verzi Kinoautomatu (1974), jeho další projekty The Sound Game Show (1971), Bláznivá cesta (1981) nebo The Scroll (1986) byly vytvořeny pro výstavy v Montrealu, Vancouveru a japonském Kobe. Československá účast na světové výstavě ve Vancouveru v roce 1986 se pak mohla pyšnit Činčerovým programem Actorscope a Selectorama. Pro japonský pavilón na Světové výstavě v Ósace pak Činčera vytvořil na bázi dějového bludiště program Cinelabyrinth (1990).
V 70. a 80. letech Činčera téměř netočil, k filmové práci se vrátil až po roce 1989, kdy zpracoval například televizní seriál HUDEBNÍ LABORATOŘ (1994) nebo dokumentární film MORAVSKÝ ŘEK (1994). Jeho celková práce čítá cca 60 krátkých, středometrážních a dlouhometrážních dokumentárních filmů, nehynoucí slávu si zajistil svým Kinoautomatem, nicméně jeho ceněné realizace z pozdější doby, které mohl vidět v zahraničí málokdo z našich diváků, vedly k tomu, že dnes je jeho jméno neprávem opomíjeno.
Radúz Činčera zemřel v Praze ve věku 75 let 28. ledna 1999. Ze dvou manželství (RNDr. Alena, rozená Hejná, Milada, rozená Králová) měl čtyři dcery.