Narodil se 28. listopadu 1949 v Sovětském svazu, konkrétně na poloostrově Sachalin. Poté se rodina přestěhovala na území dnešního Lotyšska a zde začal Alexander v devíti letech studovat baletní školu. Hlavním důvodem nebyl ani tak jeho zájem, jako spíš obavy matky z toho, aby se její syn nestal chuligánem. Jeho spolužákem a kamarádem byl budoucí baletní velikán Michail Baryšnikov. Alexander se ukázal jako velice talentovaný tanečník a po absolvování studia se připojil k Moskevskému klasickému baletu a poté získal angažmá ve Velkém divadle. Kritiky bylo ceněno jeho vystupování v klasických dílech jako ,,Labutí jezero“ nebo ,,Giselle“. V roce 1973 se poprvé podíval s baletním souborem do USA. Už tehdy budil podezření, že by se mohl pokusit o útěk a tak mu byly na několik dalších let zahraniční zájezdy zakázány.
Poté co KGB zjistila jeho nepřítomnost, posadila jeho ženu do letadla směr Moskva. Let byl zastaven a mladá tanečnice strávila v letadle nakonec tři dny, během kterých probíhala jednání mezi americkými úřady a KGB. Do incidentu se zapojili dokonce i oba tehdejší prezidenti, jak ruský Brežněv, tak americký Carter. Mělo být jasně zjištěno, že Vlasovová chce odletět dobrovolně. Alexander prosil o možnost promluvit si s manželkou, chtěl ji přesvědčit, aby zůstala ve Státech s ním. Dostal šanci, ale jen pokud za ní přijde do letadla – nevěřil, že by ho na palubě nezadrželi a tak příležitosti nevyužil. Jeho žena nakonec odletěla do Moskvy, odkud se jí celý následující rok Godunov marně snažil získat zpátky. Jejich příběh byl označován jako ,,Romeo a Julie studené války“ . Dvojice byla na dálku rozvedena v roce 1982.
V USA Alexander nejprve vystupoval v souboru American Ballet Theater, jehož uměleckým šéfem byl právě jeho přítel z dětství Baryšnikov. Ten ho ale v roce 1982 donutil ze souboru odejít, což bral Godunov jako zradu, byl tím zdrcený a podle jeho přátel už nikdy nedával baletu tolik jako dosud. Útěchou mu ale mohla být změna v osobním životě – až do roku 1988 udržoval milostný vztah s filmovou hvězdou Jacqueline Bisset.
Jeho první hranou rolí se stal amišský farmář Daniel v thrilleru SVĚDEK (1985). Největší slávu mu ale přinesla role teroristy Karla ve SMRTONOSNÉ PASTI (1988). Nějaký čas pak snil o tom, že bude velkou filmovou hvězdou, ale další role byly stále slabší a bezvýznamnější. ,,Producenti mi říkali: budeš hrát chlapa v dlouhém kabátu se samopalem, který postřílí všechny v místnosti. A budeš mít ten samý výraz ve tváři, jako jsi měl ve Smrtonosné pasti,“ vzpomínal Alexander.