Josef Kobr se narodil 9. září 1920 na Kladně. Už v dětství se chtěl stát hercem. Hereckou kariéru začal záhy za okupace v pražské Uranii (1940 – 1941), v Českém divadle moravskoslezském (1941 – 1944) a v kladenském Městském divadle (1944 – 1945).
Příležitostně hostoval i na dalších scénách. Kromě divadla se čile věnoval vystupování, konferování a vyprávění na různých estrádách, srazech, zájezdech, v televizi a v rozhlase. Jeho manželkou byla herečka a zpěvačka Zdeňka Poláčková (1915 – 1990).
V Ostravě se Josef Kobr stal i díky svému typickému ostravskému humoru vytíženým a oblíbeným představitelem starokomických operetních postav širokého rozpětí (často v klasických operetách Strausse ml., Frimla, Nedbala, Lehára a Offenbacha): Koloman („Cikánský baron“), Tabarie („Král tuláků“), Ondřej („Fidlovačka“), Styx („Orfeus v podsvětí“), Toníček („Perly panny Serafínky“), Loriot („Mam’zelle Nitouche“), Bronislav („Polská krev“), Algy („Jak je důležité míti Filipa“), Podkolesin („Ženitba“), Nikoš („Veselá vdova“), Miška („Čardášová princezna“), Frosch („Netopýr“), Alfréd Doolittle („My Fair Lady“), Flitt („Uličnice“) a Josef Švejk („Švejk“).
Dále to byly hry „Loď komediantů“ (Kapitán Andy), „Tisíc a jedna noc“ (Dumin), „Ples v opeře“ (Teofil), „Zvonokosy“ (Bartoloměj), „Tulák“ (Kohn), „Dvě srdce ve tříčtvrtečním taktu“ (Weigl), „Hello, Dolly!“ ad.