Narodil se v rodině školníka, od dětství rád kreslil. Základní mělecké vzdělání získal na Státní odborné škole keramické v Praze. V 16 letech byl přijat na Uměleckoprůmyslovou školu v Praze, kde studoval u profesorů Kysely a Bendy. Nejpodstatnější část své tvůrčí činnosti věnoval kreslenému filmu.
Od roku 1948 začal režírovat sám a to vesměs vlastní náměty. Jeho filmy nedosáhly věhlasu filmů Trnky či Pojara a jsou paradoxně více ceněny v zahraničí než doma - ŽELEZNÝ KLOBOUK sbíral ceny na filmových festivalech v Karlových Varech a v Montevideu, TRAGÉDIE VODNÍKOVA pak v Locarnu ve Švýcarsku. SVATEBNÍ KOŠILE je řazena mezi světově významně hororové filmy. Televizní diváci na Slovensku si oblíbili 24 dílů večerníčků O PETROVI, které režíroval střídavě se scénáristou Viktorem Kubalem, v Česku pak 26 dílů večerníčků O KLUKOVI Z PLAKÁTU.
Jako oddychovou činnost doma v Lomnici kreslil Kábrt 10 let komiksy do časopisu Ahoj na sobotu pod pseudonymem KOSMA, ilustroval knihy a vytvářel drobnou grafiku nejraději formou leptu, zejména jako exlibris. Po odchodu do důchodu se věnoval plně svojí komorní grafické a snové malířské tvorbě.