František Vlček se narodil 14. července 1910 v Plzni. Roku 1928 odmaturoval na reálce, absolvoval několik semestrů na strojařině pražského Vysokého učení technického a krátce studoval na Vysoké škole politických nauk. Studia však nikdy nedokončil. Po vyjití základní vojenské prezenční služby začal od roku 1932 uveřejňovat a psát drobné povídky do novin, časopisů a jiných periodik.
Na samém konci 30. let debutoval jako filmový scenárista. Často pracoval jako spoluscenárista (Eman Fiala, Jaroslav Mottl, Saša Rašilov, Martin Frič či Frank Wenig) a autor námětů. V letech 1939 – 1941 například u řady projektů režisérů Jana Svitáka (U SVATÉHO MATĚJE), Václava Binovce (DCERUŠKA K POHLEDÁNÍ), Vladimíra Slavínského (NEBE A DUDY) a Otakara Vávry (PŘÍJDU HNED).
Po okupaci se už v zestátněném filmu v roce 1947 uplatnil velmi krátce samostatně a spolupracovník na námětech a scénářích pro filmy Martina Friče (POLIBEK ZE STADIONU a ČAPKOVY POVÍDKY) a Jiřího Slavíčka (PODOBIZNA). Po roce 1945 se na patnáct let spojil do tandemu se scenáristou Josefem Neubergem (1901 – 1970) a takto ve dvojici tvořili nové komedie, dramata a válečném snímky. Snažili se o žánrovou pestrost svých scénářů.
Napsali tedy náměty a scenária pro Vladimíra Slavínského (PRÁVĚ ZAČÍNÁME), Václava Wassermana (PLAVECKÝ MARIÁŠ, NEJLEPŠÍ ČLOVĚK), Martina Friče (PYTLÁKOVA SCHOVANKA ANEB ŠLECHETNÝ MILIONÁŘ, PĚTISTOVKA, BYLO TO V MÁJI, DNES NAPOSLED), Jiřího Lehovce (PŘIZNÁNÍ), Václava Gajera (USMĚVAVÁ ZEM), Bořivoje Zemana (DOVOLENÁ S ANDĚLEM, ANDĚL NA HORÁCH), Jaroslava Macha (RYCHLÍK DO OSTRAVY) a Ladislava Rychmana (VĚŠTEC).