František Němec se narodil v roce 1943 v Sezimově Ústí. Už během studia na gymnáziu ho přitahovalo divadlo a jako ochotník vystupoval ve studentských souborech. V letech 1960-64 studoval na DAMU. Na profesionální scéně se objevil už v roce 1962 v roli Vilíka Roškota ve Šrámkově Měsíci nad řekou na prknech Divadla S. K. Neumanna. Po ukončení školy získal angažmá v Městských divadlech pražských, kde získal velký prostor a hrál nejrůznější postavy od milovníků po aristokraty ve vážných hrách i konverzačních komediích a detektivkách. K jeho nejvýznamnějším rolím tohoto období patří Orestes ze Sartrovy hry Mouchy nebo Yossarian z Hellerovy Hlavy XXII.
Vrchol popularity se dostavil ve 2. polovině 70. let, kdy s Marií Poledňákovou natočil úspěšné rodinné komedie JAK VYTRHNOUT VELRYBĚ STOLIČKU a JAK DOSTAT TATÍNKA DO POLEPŠOVNY. Byl také obsazen jako doktor Řehoř v seriálu NEMOCNICE NA KRAJI MĚSTA. Za tyto role obdržel ocenění Zlatý krokodýl za tvůrčí počin v televizní tvorbě. Velmi často se objevoval v detektivkách (např. ČAS PRACUJE PRO VRAHA), ale zahrál si i v několika válečných filmech (TA CHVÍLE, TEN OKAMŽIK či SVÍTALO CELOU NOC).
Na jaře 1982 dostal nabídku od režiséra Macháčka na titulní roli v Hamletovi do Národního divadla. Díky úspěchu hry se v srpnu téhož roku stal členem souboru Národního divadla a na jeho jevišti ztvárnil desítky významných rolí. K těm nejznámějším patří vikomt de Valmont z Hamptonových Nebezpečných vztahů nebo Göethův Faust. František Němec je obecně považován za vynikajícího charakterního herce schopného zahrát psychologicky komplikované postavy. Má vytříbený cit pro břitký a inteligentní dialog, díky němuž si zahrál ješitného profesora Higginse v Shawově hře Pygmalion.
Z četných dabérských prací vyčnívá jeho dabing intrikánského úředníka sira Humpreye Applebyho ze seriálu JISTĚ, PANE MINISTŘE. Tuto roli si ostatně vyzkoušel i na jevišti Divadla na Vinohradech, kde hostoval. Jeho hlasem v češtině promluvil i konzervativní poslanec Alan Clark v televizním seriálu DENÍK ALANA CLARKA.