Jiří Plachý je synem významného herce Jiřího Plachého (1899-1952) a synovcem herce Vojty Plachého-Tůmy (1903-1968). Díky těmto genům Jiří Plachý vyrůstal v uměleckém prostředí, na gymnáziu navštěvoval dramatický kroužek, který vedli známí umělci, ke zkouškám na DAMU jej připravil rodinný přítel Ota Sklenčka. Ještě jako student DAMU hostoval v Národním divadle a Městských divadlech pražských. Po absolutoriu pak získal angažmá v karlovarském Divadle Vítězslava Nezvala (1967-1970), kde vynikl například v představení Julie, ty jsi kouzelná. Od roku 1970 dodnes je Jiří Plachý angažován ve Vinohradském divadle. Tady našel uplatnění v klasickém repertoáru (Tři sestry, Strakonický dudák, Gazdina roba, Tartuffe), vynikl ale i v moderních hrách (Přišel na večeři, Dvanáct rozhněvaných mužů). Dnes můžeme Jiřího Plachého vidět v hlavní roli hry Oscara Wilda Ideální manžel nebo v řadu let reprízované frašce Brouk v hlavě.
V současné době známe Jiřího Plachého především z dabingu. K tomuto oboru se dostal již jako dítě, když mluvil v německém filmu Dobrodružství v Bausdorgu. Zvláště v 90. letech namluvil desítky postav v zahraničních filmech a seriálech (například Star Trek), daboval také jednu z postav v českém filmu ROMing. Často také namlouvá komentáře k dokumentárním filmům. Díky svému hlasu našel Jiří Plachý uplatnění také v četných rozhlasových hrách.
Jiří Plachý je ženatý a s manželkou Ludmilou, rozenou Řezáčovou, má dvě dcery.
Kvůli případné záměně osobností je na místě závěrem vzpomenout, že v 60. a 70. letech vystupoval v řadě filmů různých žánrů kaskadér stejného jména, Jiří Plachý (1937-1974).