Maminka Josefa Bláhy byla Slovinka, otec Čech. Sám Bláha se narodil v Jugoslávském Novom Mestě, ale už od jedenácti let žil v Praze. Vychodil měšťanku a absolvoval dvouletý obchodní kurs, ale už v té době nadšeně ochotničil. Cestu na divadelní prkna mu ovšem zbrzdila II. světová válka a totální nasazení. Bezprostředně po osvobození se vrátil ke svému koníčku (působil krátce v Divadle Ference Futuristy) a současně studoval vytouženou DAMU ve třídě Ladislava Peška. Pln ideálů vstoupil do komunistické strany, ale narozdíl od mnoha jiných kolegů záhy pochopil, jak se věci mají. Vyřešil to jednoduše - s předstíranou bolestí v srdci soudruhům sdělil, že ztratil stranickou knížku a za tento přečin byl z KSČ vyloučen.
S filmem se poprvé potkal v roce 1947, kdy se spolu s Milošem Kopeckým objevil v davu bouřících se studentů ve snímku JÁN ROHÁČ Z DUBÉ. Když byla o mnoho let později na chodbě vinohradského divadla vystavena fotografie z filmu, mladičkého Kopeckého nepoznal nikdo, Bláhu každý. Disponoval už tehdy velkýma tmavýma očima, které s pomocí mohutného obočí dokázaly hravě střídat výrazy nekompromisní autority a otcovského dobráctví.
To samozřejmě neuniklo pozornosti filmových režisérů a Josef Bláha tak hrál ve více než padesáti filmech. Všeobecně známým se přesto stal až koncem šedesátých let, přeevším díky roli zasmušilého inspektora Brůžka z televizního retroseriálu HŘÍŠNÍ LIDÉ MĚSTA PRAŽSKÉHO a jeho čtyř filmových odnoží. Na diváky ale hluboce zapůsobil i jeho vrah Halík z detektivky NA KOLEJÍCH ČEKÁ VRAH, hrabě Šternberk z Vávrova KLADIVA NA ČARODĚJNICE a čtyřruký ředitel čarodějnické školy v DÍVCE NA KOŠTĚTI.
Velice často Bláhu obsazoval multižánrový režisér Jindřich Polák. Po několika menších rolích tak jejich spolupráce vyvrcholila Bláhovou snad nejznámější rolí akademika Filipa, šéfa vědecké expedice cestovatelů v čase v kultovním sci-fi seriálu NÁVŠTĚVNÍCI z roku 1983. Jinak se Bláha v průběhu osmdesátých let už šetřil. Až na výjimky (horkokrevný šéfredaktor Bonnelli v BAMBINOTU) se ve filmu a v televizi přestal objevovat. Částečně z důvodu nedostatku zajímavých nabídek, částečně pro zhoršující se zdravotní stav.