Jiří Kostka pocházel ze starého divadelnického rodu, od dětství se pohyboval v prostředí kočovných společností. Původně chtěl být letcem, ale na příslušné vzdělání neměla rodina peníze, nakonec se v něm projevily geny několika generací předků a začal hrát divadlo. V letech 1928-1941 hrál u různých kočovných společností (M. Nováková, V. Housa, J. Burda), za protektorátu získal angažmá ve stálých oblastních divadlech (Pardubice, Olomouc, Plzeň, Ostrava), na třicet let pak spojil své osudy s Divadlem J. K. Tyla v Plzni (1949-1979). Na divadelních jevištích ztvárnil za půlstoletí přes 500 postav, jeho herectví se vyznačovalo mužným charakterem, lidovou moudrostí a humorem.
Jiří Kostka byl dvakrát ženatý, jeho první manželkou byla herečka Františka Skálová-Wintrová (1911-1973), podruhé se oženil s operetní herečkou Nettou Deborskou (1918-2002). Z prvního manželství pochází syn, herec Petr Kostka (*1938), z druhého manželství se pak narodila dcera, divadelní herečka Zora Kostková (*1952).