Prožil bouřlivé mládí a původně se chtěl stát fotbalistou. Po maturitě ale odešel do Paříže, kde se živil mimo jiné jako pojišťovací agent nebo uvaděč v Théatre National Populaire. Začal se zajímat o literaturu a divadlo a studoval herectví na pařížské Konzervatoři. Po třech letech ho ukončil jako nejlepší absolvent oboru moderní a klasické komedie a v roce 1950 se stal členem divadla Comédie Francaise. Hrál především v klasickém repertoáru (Moliére, Shakespeare, Feydeau) a v angažmá vydržel sedm let. Později dal přednost kabaretu a filmování, na jeviště se vracel jen sporadicky.
V bezmála dvou stovkách filmů, které natočil, jsou komedie v jednoznačné přesile, ale čas od času dostal Galabru i nečekanou příležitost mimo svůj žánr. V sedmdesátých letech diváky i odbornou veřejnost šokovala jeho studie vyšinutého vraha dívek Bouviera v kriminálním dramatu SOUDCE A VRAH, za niž byl odměněn Césarem 1977. Další nominace na tuto cenu mu vynesly výhradně role ve "vážných" filmech: policejní komisař Gesberg v Bessonově filmu SUBWAY, vynálezce smrtících paprsků Albert ve fantaskním filmu KAMIKADZE, nešťastný stařík, pátrající po zmizelém vnukovi v dramatu SANS DÉFENS a kolaborantský šmelinář ve snímku URANUS.