Jiří Klem se narodil v Liberci, ale dětství strávil ve východních Čechách v Červeném Kostelci, v Úpici, kde absolvoval střední školu, hrál ochotnické divadlo. Tyto první herecké zkušenosti jej přivedly na pražskou DAMU, kterou absolvoval v roce 1966. Poté následovalo první angažmá v Divadle za branou (1966-1971), pak strávil téměř čtvrtstoletí na jevišti Realistického divadla Zdeňka Nejedlého a v nástupnickém Labyrintu (1971-1994). Mezitím v jeho životě došlo ke zvratu v souvislosti s rokem 1989, kdy ubylo hereckých příležitostí, přestal vyučovat na DAMU a navíc prodělal těžký úraz. Po roce 1994 byl krátkou dobu na volné noze, pak nastoupil do Divadla Komedie (1998-2002), od roku 2002 hraje v Divadle ABC. Díky svému urostlému zjevu a zvučnému hlasu Jiří Klem na jevištích divadel vyrostl v představitele mužných typů světového i domácího repertoáru. Zvláště v Realistickém divadle vynikl řadou výrazných rolí s různorodým charakterem (Lucerna, Hamlet, Zkrocení zlé ženy, Pekelník, Farma pod jilmy atd.) V novější době v Divadle ABC zaujal svými rolemi ve hrách Sestup Orfeův, Tři muži ve člunu nebo Poprask na laguně.
Kromě divadla, filmu a televize se Jiří Klem díky svému hlasu výrazně prosadil také v dabingu, v letech 1975-1990 vyučoval herectví na DAMU.