Jiří Kvasnička vystudoval herectví na DAMU (1972), poté hrál v Krajském divadle v Kolíně (1972-1981), ve Státním divadle v Brně (1981-1982), poté přešel do Prahy, kde byl členem hereckého souboru Divadla S. K. Neumanna (později Divadla pod Palmovkou, od r. 1982). Již v kolínském divadle vynikl v několika hrách, v roce 1977 obdržel cenu Literárního fondu za titulní postavu Pometa ve hře Lišák Pomet, v roce 1980 byl pak oceněn za roli Truffaldina ve slavné Goldoniho komedii Sluha dvou pánů. Jiří Kvasnička byl též členem Herecké asociace a Odborového svazu divadelníků.
Jiří Kvasnička je ženatý a s manželkou Danou, rozenou Vrbíkovou, má tři děti.