Glover sa narodil v anglickom Hampstade, v rodine producenta z BBC a svoje herecké skúsenosti nadobúdal v Národnom divadle pre mladých, kde hrával najmä Shakespearove hry.
Glover bol dvakrát ženatý, obidve jeho ženy sú herečkami. Najprv to bola Eileen Atkins, s ktorou sa však po 9 rokoch rozviedol. V roku 1968 si zobral Islu Blair, s ktorou žije doteraz a má s ňou aj syna, samozrejme herca.
Za svoje vystúpenia v Royal Shakespeare Company bol dvakrát ocenený cenou pre najlepšieho herca.