Juraj Kukura, jehož rodiče byli úředníci, se narodil v Prešově. Studoval střední průmyslovou školu a jako elév časopisu Film a divadlo pronikl do divadelního umění. Před absolvováním herectví na bratislavské VŠMU byl členem činohry Nové scény a Divadla na korze. Ve Slovenském národním divadle získal angažmá v roce 1976. Učinkoval zde v Králi Learovi, Othelovi i Revizorovi.
Své herectví ukázal i ve filmu, kde se prosadil jako představitel mužných hrdinů. V roce 1978 získal na MFF v Karlových Varech Cenu za mužský herecký výkon ve Vláčilově filmu STÍNY HORKÉHO LÉTA. První filmovou roli v Československu po pádu komunismu mu nabídl režisér Juraj Jakubisko, aby ve filmu LEPŠIE BYŤ BOHATÝ A ZDRAVÝ AKO CHUDOBNÝ A CHORÝ (1992).V současné době působí v Hamburku, Praze a v Bratislavě, kde je ředitelem Divadla Aréna.