Narodil a vyrostl v Palo Altu v Kalifornii, zde také rozvíjel svou lásku k filmům všeho druhu. Minkoff je absolventem univerzity Cal Arts, na které studoval animaci postav. V létě roku 1986 byl zaměstnán ve Walt Disney Studios, v oddělení animace. Mezi Robovy první režijní počiny patří krátké animované filmy s postavou Rogera Rabbita Tummy Trouble a Roller Coaster Rabbit. Jeho celovečerním režijním debutem se stal veleúspěšný Lví král z produkce studia Disney.